伽马分布,指数分布,泊松分布的关系

1. 从意义上看:

  1. 指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间”
  2. 伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生,需要经历多久时间”

所以,伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总,即,n个Exponential(λ)random variables--->Gamma(n,λ)

  1. 泊松分布解决的是“在特定时间里发生n个事件的机率”。

2. 公式

  1. 泊松分布伽马分布,指数分布,泊松分布的关系

上面就是泊松分布的公式。等号的左边,P 表示概率,N表示某种函数关系,t 表示时间,n 表示数量,1小时内出生3个婴儿的概率,就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边,λ 表示事件的频率。

  • 接下来两个小时,一个婴儿都不出生的概率是0.25%,基本不可能发生。伽马分布,指数分布,泊松分布的关系
  • 接下来一个小时,至少出生两个婴儿的概率是80%。伽马分布,指数分布,泊松分布的关系
  • 泊松分布的图形伽马分布,指数分布,泊松分布的关系
  1. 指数分布
  • 指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间”
  • 指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ,就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。伽马分布,指数分布,泊松分布的关系
  • 反过来,事件在时间 t 之内发生的概率,就是1减去上面的值。伽马分布,指数分布,泊松分布的关系
  • 接下来15分钟,会有婴儿出生的概率是52.76%。伽马分布,指数分布,泊松分布的关系
  • 接下来的15分钟到30分钟,会有婴儿出生的概率是24.92%。伽马分布,指数分布,泊松分布的关系
  • 指数分布的图形伽马分布,指数分布,泊松分布的关系

可以看到,随着间隔时间变长,事件的发生概率急剧下降,呈指数式衰减。想一想,如果每小时平均出生3个婴儿,上面已经算过了,下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%,那么间隔3小时、间隔4小时的概率,是不是更接近于0?

  1. 伽马分布
  • 伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生,需要经历多久时间”
  • 公式伽马分布,指数分布,泊松分布的关系

这里a=n, 当a=1时,伽马分布就是指数分布,所以伽马分布就是n个指数分布的和

  • 期望和方差伽马分布,指数分布,泊松分布的关系
  • Gamma分布中的参数α称为形状参数(shape parameter),β称为尺度参数(scale parameter)。伽马分布,指数分布,泊松分布的关系

参考

  1. https://www.zhihu.com/question/34866983
  2. http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html
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